20251003_活動報告

この日にボードゲームで遊んでいるついでにプロセカのガチャを引いていたんですが、めちゃくちゃ神引きしてしまいました。

分かりやすく言うと、「フェス限2体+ピックアップ4体」を170連ですべて引いてしまったんですね。
それぞれのキャラについて引く確率は0.4%ずつだったみたいです。

今回はこの確率について具体的に考察してみたいと思います。

まずは状況を分かりやすくするために同条件の問題を示しておきます。

合計250個の白玉が袋に入っている。このうちの6個にはそれぞれ1~6の番号が書かれている。
これから、袋から玉を1つ取り出し、玉を確認してから袋に戻す試行を170回行う。
全試行が終わった際に、1~6全ての数字の玉を1回以上取り出す確率を求めよ。

…このままでは具体的な確率はよくわかりませんね。なのでまずは問題をめちゃくちゃ単純化してみます。

「…(前略) 全試行が終わった際に、1と書かれた数字の玉を1回以上取り出す確率を求めよ。」

これは余事象を用いて考えることができますね。具体的には1と書かれた数字の玉を1度も取り出さない確率です。

そして余事象の確率は各試行で1と書かれた玉を取り出さない確率が0.996であることから、これを170乗すれば求めることができます。

電卓を用いるとこの確率はおよそ0.5059…であり、およそ0.506です。

よって、単純化した問題の正解は1-0.506=0.494。約49.4%であるとわかりました。

少し複雑にしてみます。

「…(前略) 全試行が終わった際に、1・2と書かれた数字の玉をそれぞれ1回以上取り出す確率を求めよ。」

…どうすればいいんでしょう。同様に余事象を考えることから始めてみます。

この確率の余事象は１もしくは2と書かれた玉を1度も取り出さない確率です。

基本的には1の玉を1度も取り出さない確率・2の玉を1度も取り出さない確率の和になりそうですが、これでは1と2の玉両方を取り出さない場合が二重に加わってしまいます。

そこで確率の和から1と2の玉両方を取り出さない確率を引いてあげることで１もしくは2と書かれた玉を1度も取り出さない確率を求めることができそうです。

…ここまで書いて察しの良い方は気づいたと思います。数I・Aの集合でこんな感じのことをやりましたよね。

とりあえずは求めてみます。

それぞれの玉でその玉を1度も取り出さない確率は一番単純化した問題と一緒で0.506です。そこに1と2の玉両方を取り出さない確率を引きます。各試行では確率は0.992なので、これを170乗するとおよそ0.2552…であり、およそ0.255です。

よって、0.506+0.506-0.255=0.757。

少し複雑にした問題の正解は1-0.757=0.243で24.3%であると分かりました。

というわけで本来の問題に戻ります。

詳しい理論は抜きにしてこの場合も確率を足したり引いたりすることで求められます。

具体的には
(ある1種類の玉を取り出さない確率の合計)
-(ある2種類の玉を取り出さない確率の合計)
+(ある3種類の玉を取り出さない確率の合計)
-(ある4種類の玉を取り出さない確率の合計)
+(ある5種類の玉を取り出さない確率の合計)
-(ある6種類の玉を取り出さない確率の合計)
で求めることができます。

ちなみにこういうのは包除原理って言ったりするので詳しく知りたい方は調べてみてください。

とにかく、この式を求めれば本来の問題の確率が分かります。

ここで、6種類あるうちのk種類の玉を選ぶ選び方は6Ck通りあるので、各確率の合計に選び方の通りだけ掛け算してあげる必要があります。

今までの説明だいぶ端折り気味ですが、確率を求めるPythonコードを置いておきます。

import math

T = 170
probably = 0

for i in range(1, 7):
    probably += (-1)**(i+1)*math.comb(6, i)*(1-(0.004)*i)**T

print(1-probably)

計算結果は0.01392…となりました。つまり、1.4%くらい。

「170連をする」という試行をして1.4%の確率で発生する事象を当てたということでやっぱり神引きだったんだなっていうのを実感しますね。

コードをちょっと改変してみて逆に50%を超える確率で「フェス限2体+ピックアップ4体」を全員当てることのできる最小のガチャ連回数を求めてみると、554連であることもわかりました。

なんとなく”コンプガチャ”なる概念が規制された理由が分かるような気がしますね。